Новогодний миллиард: вероятность выигрыша

Математик Евгений Пунинский рассказал, что такое теория вероятностей, как она связана с лотереями и можно ли просчитать выигрышную комбинацию.  

Евгений Пунинский:  Закончил мехмат МГУ, кафедра Высшей Алгебры. Больше 10 лет преподавал математику и высшую математику, в частности, теорию вероятностей и статистику в центре London Gates Education Group

Лотереи и теория вероятностей

Что такое теория вероятностей и как она связана с лотереями?

Теория вероятностей — это наука, изучающая случай и пытающаяся этот случай как-то предсказать. Свести кажущиеся хаотичными явления к чему-то предсказуемому. К каким-то математическим формулам, которые скажут нам, что примерно будет вот так. А лотерея — это пример использования теории вероятностей в жизни.

Истоками теория вероятностей уходит в глубокую древность. Люди всегда интересовались случайностью. А аксиоматические основы современной теории вероятностей заложил советский математик Андрей Николаевич Колмогоров . Той теории вероятностей, которую мы сейчас изучаем, например, на мехмате МГУ.

Можно на простом примере рассказать или показать, как работает теория вероятностей? 

Проще всего продемонстрировать на монетке. Это базовый пример, с чего начинается любая теория вероятностей. Если мы подбросим монетку, вероятность, что выпадет решка 50 на 50 — то есть 1/2.  И так каждый раз, когда я кидаю монетку.

Если мы кинем монетку два раза, вероятность того, что выпадет два раза решка, — 1/4. То есть 1/2 на одной монетке и 1/2 на другой монетке. Мы просто перемножаем эти две вероятности.

Если в поисковике вбить запрос «Как выиграть в лотерею», то выпадет огромное количество ссылок на программы и сайты, где якобы помогают просчитать выигрышную комбинацию. Это вообще возможно? 

Нет, таких формул не существует. Это обман. Можно только оценить свой средний ожидаемый выигрыш. Например, ты сыграл миллион раз в одну и ту же лотерею. Один раз ты ничего не выиграл, в другой раз ты выиграл 100 рублей, в третий раз — 500 рублей, а потом опять ничего не выиграл. Все эти доходы мы складываем и делим на общее количество розыгрышей.

По поводу оценки лотереи я могу привести простой, но показательный пример. Например,   ты можешь выиграть в лотерею 1000 рублей с вероятностью 1/1000. Или ты можешь выиграть 100 рублей, но с вероятностью 1/50. Какая из них лучше? Какая лотерея прибыльнее для тебя, ну вот в среднем?

Я скажу, что, конечно, прибыльнее та, которая, где я выиграю тысячу рублей.

Потому что тебя привлекает большая сумма. Но ты должен учитывать, что вероятность выигрыша там 1/1000. Если умножить сумму выигрыша на вероятность, мы получим, что в среднем выигрыш на один билет— 1 рубль. То есть, если я куплю много-много билетов, у меня средний выигрышный билет будет 1 рубль. Во второй лотерее, где выигрыш 100 рублей с вероятностью 1/50, в среднем выигрыш на один билет — 2 рубля. Поэтому надо всего учитывать два параметра оценки — сумму выигрыша и вероятность выигрыша.

А как насчёт счастливых чисел? Люди верят, что те или иные числа приносят им в жизни удачу. Поэтому часто отмечают их в своих билетах. Как это можно оценить с точки зрения математики?

Во-первых, скажу, что это нормально. Мне тоже какие-то числа больше нравятся, чем другие. Во-вторых, с точки зрения математики, в этом нет никакой проблемы. Одна лотерея никак не связана с другой, каждый тираж независим, поэтому вероятность выиграть с конкретным числом у вас фиксированная в каждом тираже.

В 2020 году житель штата Ноланд выиграл в лотерею 50 тысяч долларов. На протяжении многих лет он отмечал в лотерейных билетах одни и те же числа. Такой подход, он оправдан? 

В этом подходе нет ничего криминального. Как я уже говорил, в каждом новом тираже любое число имеет равновероятный шанс выпасть. И те числа, которые ты отмечал в прошлый раз, никак не влияют на вероятность выигрыша сейчас. Поэтому ты вправе выбирать любые, ничего не изменится. Это миф, что здесь какая-то есть связь. Если есть люди, которые думают, что когда-то у меня не выиграло это число, поэтому его не надо больше отмечать, то скажу, что с матаметической точки зрения — это абсурд.

В лотереях есть такое понятие, как развернутая ставка. Это когда ты отмечаешь в билете больше чисел, чем нужно. Это повышает твои шансы на выигрыш? 

Да, я знаком с этим понятием. Например, в выигрышной комбинации должно быть пять чисел, а ты выбираешь шесть. Это равнозначно тому, что ты шесть раз сыграешь в эту лотерею, у тебя будет шесть попыток, шесть комбинаций. Если ты так играешь несколько раз, то, да, у тебя математическое ожидание твоего выигрыша возрастает.

Вопросы и претензии участников

Одна из частых претензий от участников лотерей, что все выигрышные билеты остаются в Москве и Санкт-Петербурге, а до регионов их просто не довозят. Поэтому выигрывают в столицах чаще и больше.  

Это утверждение, конечно, не выдерживает критики. В Москве, в Санкт-Петербурге и в любых крупных городах победителей больше, потому что там живёт больше людей. И, соответственно, там просто покупают больше билетов.

Есть ещё такая претензия: иногда в тираже анонсируют предложение «Выигрывает каждый второй билет». Но участники потом пишут: «Я купил два билета и ни один не выиграл. Обман!». Почему так получается?

Здесь мы можем провести эксперимент на месте. У меня есть мешочек, в нём поровну розовых и синих конфет. То есть каждая вторая конфета точно синяя. Попробуй вытащить две конфеты. Смотри, у тебя оказалось две синих, а не одна. А должна была быть только одна. А сейчас я попробую вытащить — у меня оказался прогнозируемый вариант — одна синяя и одна розовая.

Поэтому фраза «Каждый второй билет выигрышный» означает, что на тираж напечатали, например, миллион билетов, половина из которых выигрышные. Но когда вы будете доставать эти билеты из такого воображаемого общего мешка, то у вас могут быть разные исходы. Когда-то вы достанете два выигрышных, когда-то — два проигрышных или поровну. Но в общей массе, половина билетов здесь выигрышные.

Некоторые участники пишут, что вероятность выигрыша в российских лотереях намного ниже, чем в иностранных. А выигрыши там намного больше. Это действительно так?

Я думаю, что это не так. Вряд ли есть какая-то зависимость между странами. Возьмём для сравнения самую популярную в США лотерею — «Powerball». Во-первых, в США живёт гораздо больше людей и они чаще участвуют в лотереях. Поэтому билетов покупают больше и, соответственно, призовой фонд у лотереи намного больше. Во-вторых, что касается вероятности. Вероятность выиграть суперприз в «Powerball» 1 к 292 миллионам, а вероятность выиграть, например, в «Спортлото «6 из 45» — 1 к 8 миллионам. То есть разница в 36 раз.

Нужно ещё не забывать о налоге на выигрыш. Поскольку выигрыш в лотерею — это мой доход, соответственно, я с дохода отдаю какой-то процент. В России налог на выигрыш 13% и 15%, на выигрыш от 5 миллионов. А в США налог может составлять 35% или даже 40%.  

Да, я тоже слышал, что за рубежом во многих странах очень высокие налоги на любые крупные выигрыши. Не только лотерейные на самом деле, любые. И там до 40% можно отдать государству.

«Новогодний миллиард»

1 января 2022 года в прямом пройдёт новогодний розыгрыш «Русского лото». В праздничном тираже гарантированно разыграют 1 000 000 000 ₽, 100 призов по миллиону и тысячи других денежных призов. Билеты «Новогоднего миллиарда» можно купить уже сейчас. 

Можно ли повысить вероятность выигрыша в «Новогоднем миллиарде»?

На самом деле, мне кажется, что нет никаких стратегий, которые реально работают. Математика этим не занимается, поэтому никакого особенного способа увеличить свои шансы нет. Можно купить больше билетов. Чем больше билетов ты покупаешь, тем выше шансы на выигрыш. Они вырастают пропорционально количеству купленных билетов. Всё.

Будешь ли ты участвовать в новогоднем розыгрыше «Русского лото»?

Этот исход имеет свою вероятность.

Можешь дать какой-то совет напоследок? 

Я советую людям изучать математику и теорию вероятностей. Сейчас довольно много качественной информации. Смотрите тематические YouTube-каналы, например, канал Савватеева. Очень много хороших онлайн-курсов доступно от МГУ, от МФТИ, от Высшей школы экономики. Это очень интересно.